Giải nhanh và chi tiết giúp mình nhé. 22/4 là mình thi HSG rồi

TH1 x>y

Ta có (xy+1)2=x^2.y^2+2xy+1>x2y2+x−y>x^2.y^2

Do đó loại vì x^2.y^2 làSCP.

TH2 x<y cm tương tự, loại.

Do đó x=y.

\(GT\Rightarrow\left(\sqrt{2+x^2}-x\right)\left(\sqrt{2+x^2}+x\right)\left(\sqrt{2+y^2}+y\right)=2\left(\sqrt{2+x^2}+x\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{2+y^2}+y\right)=2\left(\sqrt{2+x^2}+x\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2+x^2}+x-\sqrt{2+y^2}-y=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+y^2}}+\left(x-y\right)=0\)

TH1:\(x-y=0\Leftrightarrow x=y\left(đpcm\right)\)

TH2: \(x+y+\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+y^2}=0\)

Ta có: \(x\ge-\sqrt{x^2}\); \(y\ge-\sqrt{y^2}\)

\(\Rightarrow x+y+\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+y^2}\ge\sqrt{2+x^2}-\sqrt{x^2}+\sqrt{2+y^2}-\sqrt{y^2}>0\)

Do vậy TH2 không có x,y tm

Vậy ta có đpcm

Chắc là x + y = 2.

Ta có \(x^4-x^2-2x+2=\left(x-1\right)\left(x^3+x^2-2\right)=\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+2\right)\ge0\).

Do đó \(x^4\ge x^2+2x-2\). Tương tự \(y^4\ge y^2+2y-2\).

Cộng vế với vế của 2 bđt trên ta có đpcm.

Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-hai-so-xy-thoa-man-x-y-cmr-x2-y2-le-x4-y4.628714996213

Võ

Lời giải:
$x+2019x^2=y+2019y^2$
$\Leftrightarrow (x-y)+2019(x^2-y^2)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)[1+2019(x+y)]=0$

$\Rightarrow x-y=0$ hoặc $1+2019(x+y)]=0$

Với $x,y$ là số nguyên thì hiển nhiên $1+2019(x+y)\neq 0$ (do lẻ) 

$\Rightarrow x-y=0$

$\Rightarrow x-y=0^2$ là số chính phương.